kray_zemli (kray_zemli) wrote,
kray_zemli
kray_zemli

Хоть грант пиши: газодинамическая модель дорожного трафика и пробок

Помню, как-то Яндекс устроил шумиху с конкурсом про яндекс-пробки. Залез я туда, накачал данных, но данные мне не вполне понравились, ударяться в шаманство не захотелось, да и времени не было – готовился к поездке в США, так что на конкурс я забил.

Но тем не менее, довольно простую модель удалось составить.

Вообще, если почитать ПДД, там как бы написано то, что нужно знать для составления модели: остановочный путь должен быть не больше дальности видимости, а расстояние до ближайшего автомобиля не менее 2 секунд. Но это слишком простая и неубедительная модель.

Но я тогда ПДД не знал, и основывался на том, что расстояние до ближайшего автомобиля должно быть порядка остановочного пути. Впрочем, это не принципиально.

Итак. Будем считать, что водители в среднем действуют как разумные люди и выбирают дистанцию исходя из соображений безопасности, а на ПДД они клали болт. В нашей модели длина участка дороги, приходящаяся на один автомобиль, будет составлять:

L = d + V*T + V2*A

Здесь d – средняя длина автомобиля в метрах (пусть будет 4.5 метра), V – скорость потока в м/с, T – время между возникновением необходимости оттормозиться и началом процесса торможения (те самые секунды по правилам. Но я брал значение 0.5 секунд). A – коэффициент, учитывающий квадратичный рост остановочного пути от скорости. Если считать, что квадратичный член равен тормозному пути, то:

A = 1/(2*µ*g)

Здесь µ – коэффициент сцепления (для сухого асфальта где-то 1.4).

g – ускорение свободного падения (9.8 м/с2). На поворотах и холмистой местности нужно брать другое значение, которое ещё и от скорости будет зависеть, но от этого пока отстранимся.

Трафик полосы дороги в зависимости от скорости потока в этом случае определен так:

Q = V / L

Q измеряется в машинах в секунду.

Если внимательно посмотреть на формулу, то можно заметить, что зависимость немонотонна. При нулевой скорости трафик равен нулю. При малых скоростях трафик растёт с ростом скорости потока. Вблизи некоторого значения скорости трафик максимален и слабо зависит от скорости, а с дальнейшим ростом скорости трафик, наоборот, снижается.

Скорость, назовём её критической, при которой пропускная способность полосы максимальна, составляет:

V* = (d/A)1/2

Прежде, чем двигаться дальше, рассчитаем, для интереса, значение критической скорости и максимальной пропускной способности Qmax.

Если считать по ПДД (T = 2 сек, A = 0), то критическая скорость обращается в бесконечность, а Qmax = 0.5 машин/сек.

На сухой дороге (µ=1.4) V* = 40 км/ч, Qmax = 0.75 машин/сек.

Если же считать, что водители резервируют перед собой только 1/3 часть тормозного пути, то V* = 70 км/ч, Qmax = 1 машина/сек.

Как видим, классические ограничения скоростного режима в городе взяты не с потолка. Они являются, фактически, балансом между быстротой езды и безопасностью. Так, скорость 40 км/ч, на практике является примерно той скоростью, при которой водитель успевает среагировать на выскочившего "из-за угла" пешехода.

Если, например, дорога завалена снегом (µ=0.35), критические скорости снижаются в 2 раза, пропускная способность тоже снижается, где-то в 1.5 раза.

Ну а теперь, собственно, перейдём к газодинамической сути.


Как известно, в газовой динамике режимы течения можно разделить на два класса: дозвуковые и сверхзвуковые. Принципиальная разница здесь в следующем. Возмущения (информация) между разными точками течения переносится со скоростью звука. Скажем, если где-то вдалеке в газе вдруг сильно упало давление, то газ не устремится в ту сторону, пока до него не дойдёт волна разрежения, а доходит она со скоростью звука (при малых возмущениях). Так вот, если течение сверхзвуковое, то возмущения назад по потоку не распространяются. Газ движется так быстро, что до него не успевает вовремя доходить информация, что же там впереди, куда он течёт, делается. Это, в частности, приводит к тому, что когда сверхзвуковой поток встречает некоторое препятствие, то перед препятствием формируется так называемая отошедшая ударная волна. До ударной волны движущийся быстрее звука газ ведёт себя так, будто никакого препятствия нет, а за ударной волной газ, наконец, узнаёт о препятствии, резко сжимается и тормозится до дозвуковой скорости, и уже на дозвуковой скорости это препятствие огибает.

А вот в дозвуковых течениях информация о препятствии впереди доходит быстро, и потому газ начинает огибать это препятствие заранее.

Такое вот небольшое, казалось бы, отличие в свойствах приводит к тому, что сверхзвуковые и дозвуковые потоки реагируют на внешнее возмущение практически наоборот. Так, если при дозвуке уменьшение сечения канала (диаметра трубы/сопла, где течёт газ) или подвод к газу тепла приводит к увеличению скорости течения, то при сверхзвуке всё в точности наоборот. Собственно, отсюда и истекает проблема разгона газа до больших скоростей, которую решали при изобретении космических ракет. Традиционным решением проблемы является применение сопла Лаваля. Сопло Лаваля – это такая труба, которая сначала сужается, чтобы газ разогнался до скорости звука, а потом, наоборот, расширяется, чтобы газ продолжал разгоняться дальше, уже на сверхзвуке. Кстати, пропускная способность сопла Лаваля зависит в основном только от его наименьшего диаметра, где газ течёт со скоростью звука. А чтобы обеспечить такой расход, давление газа, подаваемого в сопло, должно быть достаточно большим по сравнению с давлением атмосферы, куда это сопло дует, но об этом пока не будем.

И немного про сами возмущения. Возмущения делятся на волны сжатия, и волны разрежения. Волна сжатия несёт информация о том, что газ спереди уткнулся в препятствие и давление в результате повысилось. Ударная волна как раз является волной сжатия. Волна разрежения, наоборот, сообщает о том, что где-то стало свободнее.

Волны сжатия имеют свойство самоутоньшаться до некоторой предельной толщины, которая зависит от параметров газа и силы ударной волны. Чем сильнее перепад давления в волне сжатия, тем тоньше волна сжатия становится и тем быстрее она это делает. Волны разрежения, наоборот, имеют свойство "размазываться" по пространству.


Итак, это была присказка, так сказать, ликбез по теории. Вернёмся к нашим дорогам и автомобилям.

Как мы уже выяснили, пропускная способность дороги в зависимости от скорости потока имеет горбообразную зависимость. Точно так же, как пропускная способность газового канала! Раньше у нас мог возникнуть вопрос: вот, мы рассчитали, что при V = 70 км/ч Q = 1 машина/сек, а вот трафик Q = 0.9 машин/сек реализуется как при скорости 30 км/ч, так и при скорости 150 км/ч, так в каком случае какая скорость установится?

Теперь мы знаем ответ.

Трафик со скоростью V < V* соответствует дозвуковому течению, когда пропускная способность ограничена "бутылочным горлом" впереди по потоку, за которым формируется "очередь" желающих проехать. В самом "бутылочном горле" при этом V = V* и пропускная способность максимальна. Но эта пропускная способность меньше, чем количество желающих проехать (и, само собой, пропускной способности дороги, по которой едут эти желающие). Всё прямо как в конфузоре сопла Лаваля! Как мы помним из газовой динамики, при дозвуке расширение трубы снижает скорость. Вот и получается, что чем шире дорога, на которой эти желающие толпятся перед "бутылочным горлом", тем меньше скорость потока. Обыкновенная пробка. Пропускная способность нашей дороги больше, чем "горла" впереди, поэтому плотность автомобилей на нашей дороге будет повышаться до тех пор, пока её трафик не сравняется с трафиком бутылочного горла. За счет того, что желающие проехать становятся препятствиями друг для друга.


Режим V > V* соответствует сверхзвуковому режиму течения, когда каждый автомобиль своим присутствием на дороге не уменьшает её пропускной способности, хоть и заставляет автомобили, следующие за ним, двигаться медленнее, чем они могли бы ехать по пустой дороге. Это значит, что по мере того, как количество желающих проехать по дороге (т.е. Q) будет расти, скорость их движения будет несколько снижаться, но все они смогут проехать, не создав пробки. Вот, представьте, что вы едете по довольно пустой дороге со скоростью 90 км/ч. И тут вам надо пропустить кого-то справа. Для этого вам приходится снизить скорость, скажем, до 75 км/ч. И тому, кто едет за вами, тоже придётся снижать скорость. Но, по мере снижения своей скорости, он ещё и будет сокращать дистанцию до вас, и потому какое-то время будет продолжать двигаться быстрее, чем 75 км/ч. Таким образом, он создаст более слабую помеху тем, кто позади него, по сравнению с той помехой, что вы создали ему. Поэтому достаточно далеко позади скорость потока так и останется 90 км/ч. А вот вы, замедлившись до 75 км/ч, так и будете ехать с такой скоростью, пока дорога не расширится, или машины впереди вас не рассосутся по свёрткам.

Продолжение следует
Subscribe

  • Зачем либералам власть?

    Забавляет либеральное двоемыслие, предлагающее давить на власть сугубо законными методами, в то время как власть пишет закон сугубо под себя, да и…

  • Дворец: мужское и женское

    Традиционно, в дворцах есть мужская и женская части. Исходя из этого предположения, по плану легко сообразить, что казино, танцевальный автомат,…

  • Глубинный народ о Дворце

    Подумаешь, дворец! У вечернего мудозвона Соловьёва — и то хоромы есть. А Путину что, нельзя? Тем более, в России, а не где-нибудь в Америках да…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments